极限存在准则以下是判定极限存在的两个准则,以及作为应用准则的例子

准则1:夹逼准则若 x∈U˚(x0,r)x\in \mathring{U}(x_{0},r)x∈U˚(x0​,r)或∣x∣>M|x|>M∣x∣>M时, g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) 且 lim⁡x→x0/∞g(x)=lim⁡x→x0/∞h(x)=A\displaystyle\lim_{ x \to x_{0}/\infty }g(x)=\lim_{ x \to x_{0}/\infty }h(x)=Ax→x0​/∞lim​g(x)=x→x0​/∞lim​h(x)=A 则lim⁡x→x0/∞f(x)=A\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}/\infty }f(x)=Ax→x0​/∞lim​f(x)=A , 极限存在

根据准则1, 可推导出第一个重要极限

lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim _{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 x→0lim​xsin(x)​=1

准则2:单调有界准则单调有界函数/数列必有极限

根据准则2, 可推导出第二个重要极限:

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e x→∞lim​(1+x1​)x=e

柯西极限存在准则数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 收敛的充分必要条件是: 对于任意给定的正数 ϵ\epsilonϵ ,存在正整数N, 使得当 m>N,n>Nm>N, n>Nm>N,n>N 时, 有

∣xn−xm∣<ϵ|x_n-x_m|<\epsilon ∣xn​−xm​∣<ϵ